クレイグの補間定理（英: Craig's interpolation theorem）は論理学における定理であり、論理体系によってその定義が異なる。William Craig が1957年、一階述語論理について証明したのが最初である。クレイグの補題とも。
命題論理の場合 命題論理版は以下のように定義される。
が恒真式であるとき、論理式 の全ての命題変数が と の両方に出現する場合で、かつ
と
も恒真式なら、 を
の「補間（interpolant）」と呼ぶ。
単純な例として、次の式に対して は補間である。
命題論理でのクレイグの補間定理は、含意
が恒真式なら、常に補間が存在する、というものである。
証明 クレイグの補間定理は以下のような方法で証明できる。 モデル理論的には、コンパクト性、否定、論理積が存在するとき、Robinson's joint consistency theorem とクレイグの補間定理は等価である。 証明理論的には、シークエント計算によって証明できる。カット除去定理が成り立ち、結果として部分論理式特性が保持されるなら、クレイグの補間定理は証明の構成に関する帰納法で証明される。 代数学的には、論理を表す代数の多様性についての融合の定理を使う。 クレイグの補間定理のある他の論理体系に変換する。
応用 クレイグの補間定理は、一貫性の証明、モデル検査、モジュール仕様の証明、モジュールオントロジーの証明などに使われる。
参考文献
Eva Hoogland, Definability and Interpolation. Model-theoretic investigations. PdD thesis, Amsterdam 2001. W. Craig, Three uses of the Herbrand-Gentzen theorem in relating model theory and proof theory, The Journal of Symbolic Logic 22 (1957), no. 3, 269-285.
外部リンク